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线性变换

线性变换在线计算器，输入矩阵 A 与向量 v，自动计算 T(v)=Av 并解释几何变换意义，附结果，适合线性变换与矩阵乘法学习。

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T(v) = A v
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📖 使用教程｜线性变换

一、定义
线性变换 T: Rⁿ→Rᵐ 在基下的矩阵为 A，则 T(v)=Av。
二、符号说明
符号含义
A变换矩阵
v输入向量
T(v)变换后向量
三、本工具的原理
  • 矩阵乘法就是线性变换；
  • T(αu+βv)=αT(u)+βT(v)；
  • A 的列是基向量像的坐标。
四、操作步骤
  1. 输入变换矩阵 A；
  2. 输入向量 v；
  3. 点击计算 T(v)=Av。
五、例题
例：A=1 0;0 −1（关于 x 轴反射），v=(2,3)，T(v)=(2,−3)。
六、易错点
A 的列数要等于 v 的维数；
A 的行数是输出维数；
不同基下矩阵不同。

❓ 常见问题｜线性变换

什么是线性变换？
保持加法和数乘的变换 T(αu+βv)=αT(u)+βT(v)。
矩阵和变换什么关系？
选定基后，线性变换可用矩阵 A 表示，T(v)=Av。
A 的行列数分别是什么？
列数=输入维数，行数=输出维数。
常见变换矩阵？
旋转 [[cos,−sin],[sin,cos]]、反射 [[1,0],[0,−1]] 等。
T(0) 等于什么？
0，线性变换把零向量映到零向量。