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矩阵的对角化

矩阵对角化在线判别器，输入方阵，自动求特征值特征向量并判定是否可对角化，给出对角化矩阵 P 与对角阵 D，适合相似对角化学习。

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P⁻¹ A P = D
用空格分隔元素，分号分隔行，如 1 2;3 4

📖 使用教程｜矩阵的对角化

一、定义
若存在可逆矩阵 P 使 P⁻¹AP = D（D 为对角阵），则称 A 可对角化。
二、符号说明
符号含义
P特征向量作为列构成的矩阵
D对角阵，对角线为特征值
n方阵阶数
三、本工具的原理
  • A 可对角化 ⇔ A 有 n 个线性无关的特征向量；
  • P 的列就是 n 个特征向量；
  • D 的对角线按列顺序放置对应特征值。
四、操作步骤
  1. 输入方阵 A；
  2. 点击计算查看特征值与是否可对角化。
五、例题
例：A=2 1;1 2。特征值 3、1 各对应一个特征向量，P=[(1,1),(−1,1)]，D=diag(3,1)。
六、易错点
复特征值在实数域不可对角化；
重特征值需要对应线性无关的特征向量；
P 的列顺序要与 D 的对角元对应。

❓ 常见问题｜矩阵的对角化

什么条件下可对角化？
有 n 个线性无关的特征向量。
什么矩阵一定可对角化？
实对称矩阵一定可正交对角化。
P 和 D 怎么构造？
P 的列是特征向量，D 的对角元是对应特征值。
复特征值能对角化吗？
在复数域可以，实数域不行。
对角化有什么用？
方便计算 A^k = P D^k P⁻¹。