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矩陣的對角化

矩陣對角化線上判別器，輸入方陣，自動求特徵值特徵向量並判定是否可對角化，給出對角化矩陣 P 與對角矩陣 D，適合相似對角化學習。

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P⁻¹ A P = D
用空格分隔元素，分號分隔列，如 1 2;3 4

📖 使用教學｜矩陣的對角化

一、定義
若存在可逆矩陣 P 使 P⁻¹AP = D（D 為對角陣），則稱 A 可對角化。
二、符號說明
符號意義
P特徵向量作為列構成的矩陣
D對角陣，對角線為特徵值
n方陣階數
三、本工具的原理
  • A 可對角化 ⇔ A 有 n 個線性無關的特徵向量；
  • P 的列就是 n 個特徵向量；
  • D 的對角線按列順序放置對應特徵值。
四、操作步驟
  1. 輸入方陣 A；
  2. 點擊計算查看特徵值與是否可對角化。
五、範例
範例：A=2 1;1 2。特徵值 3、1 各對應一個特徵向量，P=[(1,1),(−1,1)]，D=diag(3,1)。
六、易錯點
複特徵值在實數域不可對角化；
重特徵值需要對應線性無關的特徵向量；
P 的列順序要與 D 的對角元對應。

❓ 常見問題｜矩陣的對角化

什麼條件下可對角化？
有 n 個線性無關的特徵向量。
什麼矩陣一定可對角化？
實對稱矩陣一定可正交對角化。
P 和 D 怎麼構造？
P 的列是特徵向量，D 的對角元是對應特徵值。
複特徵值能對角化嗎？
在複數域可以，實數域不行。
對角化有什麼用？
方便計算 A^k = P D^k P⁻¹。