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多元复合函数链式法则计算器

对 z=f(x(t),y(t)) 用链式法则数值求全导数。

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dz/dt = z_x · dx/dt + z_y · dy/dt
例如 x^2*y
例如 t
例如 t^2

📖 使用教程｜多元复合函数链式法则

一、定理
若 z=f(x,y) 可微，x=x(t)、y=y(t) 可导，则复合函数全导数 dz/dt = z_x · dx/dt + z_y · dy/dt。即沿各路径的偏导乘以该路径速度再求和。
二、符号说明
z_x,z_yz 对中间变量的偏导
dx/dt, dy/dt中间变量对 t 的导数
dz/dt全导数
三、本工具的原理
  • 先求 x(t₀)、y(t₀)；
  • 数值求 z_x、z_y；
  • 数值求 x'_t、y'_t；
  • 按公式相乘相加。
四、操作步骤
  1. 输入 z=f(x,y)、x(t)、y(t)；
  2. 输入 t₀；
  3. 点击「计算」。
五、例题
例：z=x²y，x=t，y=t²，t=1。
解：x=1,y=1；z_x=2xy=2，z_y=x²=1；x'=1，y'=2t=2；dz/dt=2·1+1·2=4。
六、易错点
中间变量与自变量不要混淆；
每条中间变量路径都要贡献一项；
更多中间变量时项数相应增加。

❓ 常见问题｜链式法则

链式法则怎么记？
沿每条“z→中间变量→t”的路径，偏导乘导数再相加。
z 直接是 t 的函数怎么办？
直接对 t 求导即可，结果应与链式法则一致。
为什么用数值？
避免手工展开再求导，直接得到结果。
中间变量更多呢？
dz/dt = Σ z_{u_i} · du_i/dt。
这个结果和直接代入求导一致吗？
应一致，可用以自检。