主页

正交矩阵

正交矩阵在线判别器，输入方阵，自动检验 AᵀA 是否等于单位阵 I 并算出误差，附正交性说明，适合矩阵正交性练习。

展开更多 ▾
AᵀA = I ⇔ A⁻¹ = Aᵀ
用空格分隔元素，分号分隔行，如 1 2;3 4

📖 使用教程｜正交矩阵

一、定义
若方阵满足 AᵀA = I，则称 A 为正交矩阵，此时 A⁻¹ = Aᵀ。
二、符号说明
符号含义
I单位矩阵
A⁻¹逆矩阵
Aᵀ转置
三、本工具的原理
  • 正交矩阵的列向量都是单位向量且两两正交；
  • |det A| = 1；
  • 正交变换保持长度和夹角不变。
四、操作步骤
  1. 输入方阵 A；
  2. 点击计算 AᵀA；
  3. 看是否等于单位阵 I。
五、例题
例：A=0 1;−1 0。Aᵀ=0 −1;1 0，AᵀA=1 0;0 1=I，故为正交矩阵。
六、易错点
必须是方阵；
近似单位阵（误差 < 1e-6）视为正交；
正交矩阵行向量也两两正交。

❓ 常见问题｜正交矩阵

什么是正交矩阵？
满足 AᵀA=I 的方阵，即 A⁻¹=Aᵀ。
正交矩阵的列有什么特点？
列向量都是单位向量且两两正交。
正交矩阵的行列式？
|det A|=1（旋转为 +1，反射为 −1）。
正交变换有什么几何意义？
保持向量长度和两向量夹角不变。
判定误差多少？
AᵀA 与 I 元素误差 < 1e-6 视为正交。