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正交矩陣

正交矩陣線上判別器，輸入方陣，自動檢驗 AᵀA 是否等於單位矩陣 I 並算出誤差，附正交性說明，適合矩陣正交性練習。

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AᵀA = I ⇔ A⁻¹ = Aᵀ
用空格分隔元素，分號分隔列，如 1 2;3 4

📖 使用教學｜正交矩陣

一、定義
若方陣滿足 AᵀA = I，則稱 A 為正交矩陣，此時 A⁻¹ = Aᵀ。
二、符號說明
符號意義
I單位矩陣
A⁻¹逆矩陣
Aᵀ轉置
三、本工具的原理
  • 正交矩陣的列向量都是單位向量且兩兩正交；
  • |det A| = 1；
  • 正交變換保持長度和夾角不變。
四、操作步驟
  1. 輸入方陣 A；
  2. 點擊計算 AᵀA；
  3. 看是否等於單位陣 I。
五、範例
範例：A=0 1;−1 0。Aᵀ=0 −1;1 0，AᵀA=1 0;0 1=I，故為正交矩陣。
六、易錯點
必須是方陣；
近似單位陣（誤差 < 1e-6）視為正交；
正交矩陣行向量也兩兩正交。

❓ 常見問題｜正交矩陣

什麼是正交矩陣？
滿足 AᵀA=I 的方陣，即 A⁻¹=Aᵀ。
正交矩陣的列有什麼特點？
列向量都是單位向量且兩兩正交。
正交矩陣的行列式？
|det A|=1（旋轉為 +1，反射為 −1）。
正交變換有什麼幾何意義？
保持向量長度和兩向量夾角不變。
判定誤差多少？
AᵀA 與 I 元素誤差 < 1e-6 視為正交。