一、定义
幂级数形如 Σ(n=0..∞) c_n x^n。由阿贝尔定理，存在收敛半径 R∈[0,∞]，使级数在 |x|R 发散。用比值法 R=1/lim|c_{n+1}/c_n|。
二、符号说明
| c_n | 幂级数系数 |
| R | 收敛半径 |
|x|| 绝对收敛区间 | |
| 端点 x=±R | 需单独判定 |
三、本工具的原理
- 取大 n 计算 |c_{n+1}/c_n|；
- R 为其倒数；
- ρ=0 时 R=∞，全实数收敛；ρ→∞ 时 R=0，仅 x=0 收敛；
- 收敛区间为开区间，端点需另行判断。
四、操作步骤
- 输入系数 c_n，例如 1/n；
- 点击「计算」；
- 查看收敛半径 R 与开区间。
五、例题
例：求 Σ x^n/n 的收敛半径。
解：c_n=1/n，|c_{n+1}/c_n|=n/(n+1)→1，故 R=1，收敛区间为 (-1,1)（端点 x=−1 收敛、x=1 为调和级数发散，需另判）。
六、易错点
比值法只给出开区间，端点收敛性必须单独判断；
c_n 含 n! 时常得 R=∞（如 e^x 的展开）；
本工具按 x=0 中心展开计算，中心平移需把 x 换成 x−x₀。