一、定義
冪級數形如 Σ(n=0..∞) c_n x^n。由阿貝爾定理，存在收斂半徑 R∈[0,∞]，使級數在 |x|R 發散。用比值法 R=1/lim|c_{n+1}/c_n|。
二、符號說明
| c_n | 冪級數係數 |
| R | 收斂半徑 |
|x|| 絕對收斂區間 | |
| 端點 x=±R | 需單獨判定 |
三、本工具的原理
- 取大 n 計算 |c_{n+1}/c_n|；
- R 為其倒數；
- ρ=0 時 R=∞，全實數收斂；ρ→∞ 時 R=0，僅 x=0 收斂；
- 收斂區間為開區間，端點需另行判斷。
四、操作步驟
- 輸入係數 c_n，例如 1/n；
- 點擊「計算」；
- 查看收斂半徑 R 與開區間。
五、範例
範例：求 Σ x^n/n 的收斂半徑。
解：c_n=1/n，|c_{n+1}/c_n|=n/(n+1)→1，故 R=1，收斂區間為 (-1,1)（端點 x=−1 收斂、x=1 為調和級數發散，需另判）。
六、易錯點
比值法只給出開區間，端點收斂性必須單獨判斷；
c_n 含 n! 時常得 R=∞（如 e^x 的展開）；
本工具按 x=0 中心展開計算，中心平移需把 x 換成 x−x₀。