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二次型

二次型正定性在线判别器，输入对称矩阵，自动用顺序主子式或特征值判断正定、负定还是不定，附判据，适合二次型与合同变换学习。

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Q = xᵀ A x, λᵢ 全正 ⇒ 正定
用空格分隔元素，分号分隔行，如 1 2;3 4

📖 使用教程｜二次型

一、定义
二次型 Q = xᵀAx，其中 A 为对称矩阵。通过 A 的特征值符号判断其正定性。
二、符号说明
符号含义
xᵀAx二次型
λᵢA 的特征值
正定所有 λᵢ > 0
三、本工具的原理
  • 所有特征值 > 0 ⇒ 正定；
  • 所有特征值 < 0 ⇒ 负定；
  • 有正有负或含零 ⇒ 不定。
四、操作步骤
  1. 输入对称矩阵 A；
  2. 点击计算查看特征值与正定性。
五、例题
例：A=2 0;0 3。特征值 2、3 全为正，故 xᵀAx 正定。
六、易错点
A 必须对称；
有零特征值时为半定或不定；
实对称矩阵特征值必为实数。

❓ 常见问题｜二次型

什么是正定二次型？
对任意非零 x，xᵀAx > 0，等价于所有特征值 > 0。
负定怎么判断？
所有特征值 < 0。
不定是什么意思？
特征值有正有负（或含零），二次型可正可负。
为什么 A 要对称？
二次型的矩阵约定取对称部分。
半正定怎么判断？
所有特征值 ≥ 0 且至少一个为 0。