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二次型

二次型正定性線上判別器，輸入對稱矩陣，自動用順序主子式或特徵值判斷正定、負定還是不定，附判準，適合二次型與合同變換學習。

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Q = xᵀ A x, λᵢ 全正 ⇒ 正定
用空格分隔元素，分號分隔列，如 1 2;3 4

📖 使用教學｜二次型

一、定義
二次型 Q = xᵀAx，其中 A 為對稱矩陣。透過 A 的特徵值符號判斷其正定性。
二、符號說明
符號意義
xᵀAx二次型
λᵢA 的特徵值
正定所有 λᵢ > 0
三、本工具的原理
  • 所有特徵值 > 0 ⇒ 正定；
  • 所有特徵值 < 0 ⇒ 負定；
  • 有正有負或含零 ⇒ 不定。
四、操作步驟
  1. 輸入對稱矩陣 A；
  2. 點擊計算查看特徵值與正定性。
五、範例
範例：A=2 0;0 3。特徵值 2、3 全為正，故 xᵀAx 正定。
六、易錯點
A 必須對稱；
有零特徵值時為半定或不定；
實對稱矩陣特徵值必為實數。

❓ 常見問題｜二次型

什麼是正定二次型？
對任意非零 x，xᵀAx > 0，等價於所有特徵值 > 0。
負定怎麼判斷？
所有特徵值 < 0。
不定是什麼意思？
特徵值有正有負（或含零），二次型可正可負。
為什麼 A 要對稱？
二次型的矩陣約定取對稱部分。
半正定怎麼判斷？
所有特徵值 ≥ 0 且至少一個為 0。