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比值法与根值法计算器

对正项级数自动求比值极限与根值极限，快速判定收敛或发散。

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ρ=|a_{n+1}/a_n| ， r=ⁿ√|a_n|
例如 2^n/n!

📖 使用教程｜比值法与根值法

一、定理
比值法：ρ=lim|a_{n+1}/a_n|，ρ<1 收敛，ρ>1 发散，ρ=1 失效。根值法：r=lim ⁿ√|a_n|，r<1 收敛，r>1 发散，r=1 失效。二者都基于与几何级数比较。
二、符号说明
ρ比值法极限 |a_{n+1}/a_n|
r根值法极限 ⁿ√|a_n|
<1收敛
>1发散
三、本工具的原理
  • 取 n=20000 近似极限；
  • 计算 |a_{n+1}/a_n| 得 ρ；
  • 计算 |a_n|^(1/n) 得 r；
  • 分别判定，ρ 或 r 明显偏离 1 时结论可靠。
四、操作步骤
  1. 在「通项 a_n」框输入表达式；
  2. 例如 2^n/n!；
  3. 点击「计算」；
  4. 观察 ρ、r 与 1 的大小关系。
五、例题
例：判断 Σ 2^n/n!。
解：ρ=|a_{n+1}/a_n|=2/(n+1)→0<1，故级数收敛；根值法 r=(2^n/n!)^(1/n)→0，同样收敛。
六、易错点
ρ=1 或 r=1 时本方法失效，需改用比较法、积分法等；
通项含阶乘、指数时比值法最方便；
ρ>1 时通项不趋于 0，级数必发散。

❓ 常见问题｜比值法与根值法

比值法与根值法哪个好？
通项含 n!、a^n 时用比值法；含 n 次幂时用根值法更直接。
ρ=1 怎么办？
两种方法都失效，例如 p-级数 ρ 恒为 1，需用积分法或比较法。
这个工具用 n=20000 准确吗？
对大多数题目足够区分；若 ρ 极接近 1，建议改用严格判别法。
ρ>1 为什么一定发散？
此时 |a_{n+1}|>|a_n|，通项不趋于 0，由 n 项判别法即发散。
交错级数能用吗？
可先对 |a_n| 用比值/根值法判断绝对收敛；若 ρ<1 则原级数绝对收敛。