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相关变化率计算器
相关变化率在线求解器，选择球、圆或正方形模型，已知一个量及其变化率，自动求出相关量的变化率，附相关方程，适合相关变化率应用题。
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对关系式两边对 t 求导，解出未知变化率
选择模型
球体：r 与 dr/dt → dV/dt, dS/dt
圆：r 与 dr/dt → dA/dt
正方形：边 s 与 ds/dt → dA/dt
几何相关变化率
半径 r 或边长 s
瞬时值
dr/dt 或 ds/dt
变化率（单位/秒）
计算结果
计算结果
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📖 使用教程｜相关变化率
一、定义
相关变化率：两个相关量 x(t)、y(t) 满足某关系式，对 t 求导后，已知一个变化率可求另一个。
二、符号说明
符号
含义
r, s
几何量瞬时值
dr/dt, ds/dt
已知变化率
dV/dt, dA/dt
待求变化率
三、本工具的原理
本工具对几何关系式两边对 t 求导；
代入瞬时值与已知速率；
解出待求速率。
四、操作步骤
选择模型；
输入几何量瞬时值；
输入已知变化率，点击计算。
五、例题
例：
气球半径 r=5，dr/dt=2。dV/dt=4πr²·dr/dt=4π·25·2=200π≈628.3。
六、易错点
变化率的正负表示增大/减小；
代入的是瞬时值，不是函数表达式；
关系式要正确建立。
❓ 常见问题｜相关变化率
相关变化率问题怎么入手？
先画图标出相关量、写出几何关系式，两边对 t 求导，代入已知瞬时量与速率。
为什么要对 t 求导？
所有量都随时间 t 变化，链式法则把几何关系变成变化率关系。
变化率为负代表什么？
代表该量在减小，例如半径以 2 cm/s 缩小时 dr/dt=−2。
球体体积变化率公式？
dV/dt=4πr²·dr/dt，由 V=4/3πr³ 求导而得。
常见相关变化率题型有哪些？
气球充气、梯子滑动、影子移动、注水速率等，核心都是“对 t 求导”。