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相關變化率計算機

選擇球、圓或正方形模型，已知一個量及其變化率，自動求相關量的變化率。

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對等式兩邊對 t 求導，解出未知變化率
幾何相關變化率
瞬時值
變化率（單位/秒）

📖 使用教學｜相關變化率

一、定義
相關變化率：兩個相關量 x(t)、y(t) 滿足某關係式，對 t 求導後，已知一個變化率可求另一個。
二、符號說明
符號意義
r, s幾何量瞬時值
dr/dt, ds/dt已知變化率
dV/dt, dA/dt待求變化率
三、本工具的原理
  • 本工具對幾何關係式兩邊對 t 求導；
  • 代入瞬時值與已知速率；
  • 解出待求速率。
四、操作步驟
  1. 選擇模型；
  2. 輸入幾何量瞬時值；
  3. 輸入已知變化率，點擊計算。
五、範例
例：氣球半徑 r=5，dr/dt=2。dV/dt=4πr²·dr/dt=4π·25·2=200π≈628.3。
六、易錯點
變化率的正負表示增大/減小；
代入的是瞬時值，不是函數運算式；
關係式要正確建立。

❓ 常見問題｜相關變化率

相關變化率問題怎麼入手？
先畫圖標出相關量、寫出幾何關係式，兩邊對 t 求導，代入已知瞬時量與速率。
為什麼要對 t 求導？
所有量都隨時間 t 變化，鏈式法則把幾何關係變成變化率關係。
變化率為負代表什麼？
代表該量在減小，例如半徑以 2 cm/s 縮小時 dr/dt=−2。
球體體積變化率公式？
dV/dt=4πr²·dr/dt，由 V=4/3πr³ 求導而得。
常見相關變化率題型有哪些？
氣球充氣、梯子滑動、影子移動、注水速率等，核心都是「對 t 求導」。