主页

二阶常系数齐次线性方程

二阶齐次线性微分方程在线求解器，输入系数 a、b，自动求出特征根并按实根、重根、共轭复根三种情形写出通解，适合常系数 ODE 练习。

展开更多 ▾
y″ + a y′ + b y = 0, r² + a r + b = 0
实数
实数

📖 使用教程｜二阶常系数齐次线性方程

一、定义
二阶常系数齐次线性方程的标准形式为 y″ + a y′ + b y = 0。其通解由特征方程 r² + ar + b = 0 的根决定。
二、符号说明
符号含义
a, b常数系数
r特征根
Δ判别式 a²−4b
C₁,C₂任意常数
三、本工具的原理
  • 设 y=e^(rx)，代入得特征方程 r²+ar+b=0；
  • Δ>0：两不等实根，通解 y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)；
  • Δ=0：重根 r，通解 y=(C₁+C₂x)e^(rx)；
  • Δ<0：共轭复根 α±βi，通解 y=e^(αx)(C₁cos βx+C₂sin βx)。
四、操作步骤
  1. 输入系数 a（y′ 的系数）与 b（y 的系数）；
  2. 点击计算查看判别式与特征根；
  3. 按三种情形读取通解公式。
五、例题
例：y″+3y′+2y=0。a=3,b=2，Δ=9−8=1>0，r₁=−1,r₂=−2，通解 y=C₁e^(−x)+C₂e^(−2x)。
六、易错点
必须先把方程写成标准形式 y″+ay′+by=0（y″ 系数为 1）；
重根时第二个解是 xe^(rx)，不是 e^(rx)；
复根情形要同时取实部 α 和虚部 β。

❓ 常见问题｜二阶常系数齐次线性方程

特征方程怎么来的？
设解为 y=e^(rx)，代入方程后约去 e^(rx)，得到 r²+ar+b=0。
三种情形如何区分？
看判别式 Δ=a²−4b：正为两实根，零为重根，负为共轭复根。
重根为什么要乘 x？
重根时 e^(rx) 只给出一个线性无关解，第二个解由刘维尔公式得 xe^(rx)。
复根的通解为什么用 sin 和 cos？
e^((α+βi)x) 的实部和虚部分别给出 e^(αx)cos βx 与 e^(αx)sin βx。
y″ 系数不是 1 怎么办？
先两边除以 y″ 的系数，化为标准形式再计算。