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二階常係數齊次線性方程

二階齊次線性微分方程線上求解器，輸入係數 a、b，自動求出特徵根並依實根、重根、共軛複根三種情形寫出通解，適合常係數 ODE 練習。

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y″ + a y′ + b y = 0, r² + a r + b = 0
實數
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📖 使用教學｜二階常係數齊次線性方程

一、定義
二階常係數齊次線性方程的標準形式為 y″ + a y′ + b y = 0。其通解由特徵方程 r² + ar + b = 0 的根決定。
二、符號說明
符號意義
a, b常數係數
r特徵根
Δ判別式 a²−4b
C₁,C₂任意常數
三、本工具的原理
  • 設 y=e^(rx)，代入得特徵方程 r²+ar+b=0；
  • Δ>0：兩不等實根，通解 y=C₁e^(r₁x)+C₂e^(r₂x)；
  • Δ=0：重根 r，通解 y=(C₁+C₂x)e^(rx)；
  • Δ<0：共軛複根 α±βi，通解 y=e^(αx)(C₁cos βx+C₂sin βx)。
四、操作步驟
  1. 輸入係數 a（y′ 的係數）與 b（y 的係數）；
  2. 點擊計算查看判別式與特徵根；
  3. 按三種情形讀取通解公式。
五、範例
範例：y″+3y′+2y=0。a=3,b=2，Δ=9−8=1>0，r₁=−1,r₂=−2，通解 y=C₁e^(−x)+C₂e^(−2x)。
六、易錯點
必須先把方程寫成標準形式 y″+ay′+by=0（y″ 係數為 1）；
重根時第二個解是 xe^(rx)，不是 e^(rx)；
複根情形要同時取實部 α 和虛部 β。

❓ 常見問題｜二階常係數齊次線性方程

特徵方程怎麼來的？
設解為 y=e^(rx)，代入方程後約去 e^(rx)，得到 r²+ar+b=0。
三種情形如何區分？
看判別式 Δ=a²−4b：正為兩實根，零為重根，負為共軛複根。
重根為什麼要乘 x？
重根時 e^(rx) 只給出一個線性無關解，第二個解由劉維爾公式得 xe^(rx)。
複根的通解為什麼用 sin 和 cos？
e^((α+βi)x) 的實部和虛部分別給出 e^(αx)cos βx 與 e^(αx)sin βx。
y″ 係數不是 1 怎麼辦？
先兩邊除以 y″ 的係數，化為標準形式再計算。