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二阶常系数非齐次线性方程

二阶非齐次线性微分方程在线求解器，输入 a、b 与常数右端 C，自动合成齐次通解与特解给出完整解，附过程，适合常系数非齐次 ODE 练习。

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y″ + a y′ + b y = C, y* = C/b
实数
实数，b≠0
常数右端项

📖 使用教程｜二阶常系数非齐次线性方程

一、定义
二阶常系数非齐次线性方程形如 y″ + a y′ + b y = f(x)。其通解 = 齐次通解 y_h + 一个特解 y*。
二、符号说明
符号含义
y_h齐次方程的通解
y*非齐次方程的一个特解
C常数右端项
by 的系数
三、本工具的原理
  • 先解齐次方程 y″+ay′+by=0 得 y_h；
  • 对常数右端 C，设特解 y*=A（常数）；
  • 代入得 bA=C，故 A=C/b（要求 b≠0）；
  • 完整通解 y = y_h + C/b。
四、操作步骤
  1. 输入 a、b 与常数右端 C；
  2. 点击计算查看齐次解与常数特解；
  3. 合成 y = y_h + C/b。
五、例题
例：y″+3y′+2y=4。齐次解 y_h=C₁e^(−x)+C₂e^(−2x)，特解 y*=4/2=2，通解 y=C₁e^(−x)+C₂e^(−2x)+2。
六、易错点
b=0 时常数特解不存在，需改用待定系数法设 y*=Ax；
特解只取一个，不要和齐次解叠加常数；
右端为非常数（如 e^x、sin x）时本工具不适用。

❓ 常见问题｜二阶常系数非齐次线性方程

非齐次方程的通解结构是什么？
通解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解。
常数特解怎么求？
设 y*=A，代入方程比较常数项，得 bA=C，A=C/b。
b=0 时怎么办？
常数特解不存在，需设 y*=Ax（右端为常数时）。
右端是 e^x 或 sin x 怎么办？
用待定系数法，设 y* 为同形式函数再代入比较系数。本工具只处理常数右端。
特解可以任意选吗？
只要满足原方程即可，不同特解只相差齐次解，已被 C₁、C₂ 吸收。