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二階常係數非齊次線性方程

二階非齊次線性微分方程線上求解器，輸入 a、b 與常數右端 C，自動合成齊次通解與特解給出完整解，附過程，適合常係數非齊次 ODE 練習。

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y″ + a y′ + b y = C, y* = C/b
實數
實數，b≠0
常數右端項

📖 使用教學｜二階常係數非齊次線性方程

一、定義
二階常係數非齊次線性方程形如 y″ + a y′ + b y = f(x)。其通解 = 齊次通解 y_h + 一個特解 y*。
二、符號說明
符號意義
y_h齊次方程的通解
y*非齊次方程的一個特解
C常數右端項
by 的係數
三、本工具的原理
  • 先解齊次方程 y″+ay′+by=0 得 y_h；
  • 對常數右端 C，設特解 y*=A（常數）；
  • 代入得 bA=C，故 A=C/b（要求 b≠0）；
  • 完整通解 y = y_h + C/b。
四、操作步驟
  1. 輸入 a、b 與常數右端 C；
  2. 點擊計算查看齊次解與常數特解；
  3. 合成 y = y_h + C/b。
五、範例
範例：y″+3y′+2y=4。齊次解 y_h=C₁e^(−x)+C₂e^(−2x)，特解 y*=4/2=2，通解 y=C₁e^(−x)+C₂e^(−2x)+2。
六、易錯點
b=0 時常數特解不存在，需改用待定係數法設 y*=Ax；
特解只取一個，不要和齊次解疊加常數；
右端為非常數（如 e^x、sin x）時本工具不適用。

❓ 常見問題｜二階常係數非齊次線性方程

非齊次方程的通解結構是什麼？
通解 = 對應齊次方程的通解 + 非齊次方程的一個特解。
常數特解怎麼求？
設 y*=A，代入方程比較常數項，得 bA=C，A=C/b。
b=0 時怎麼辦？
常數特解不存在，需設 y*=Ax（右端為常數時）。
右端是 e^x 或 sin x 怎麼辦？
用待定係數法，設 y* 為同形式函數再代入比較係數。本工具只處理常數右端。
特解可以任意選嗎？
只要滿足原方程即可，不同特解只相差齊次解，已被 C₁、C₂ 吸收。