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可分离变量的方程

可分离变量微分方程在线求解器，输入 f(x)、g(y) 与初值，自动分离变量并数值求解 y(x)，附分离过程，适合一阶 ODE 基础练习。

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dy/dx = f(x)·g(y) ⇒ ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx + C
x 的函数，如 x
y 的函数，如 y
初始 x
初始 y(x₀)
求解终点

📖 使用教程｜可分离变量的方程

一、定义
若一阶微分方程可写成 dy/dx = f(x)·g(y)，即右端能拆成只含 x 和只含 y 的两个函数之积，则称为可分离变量方程。
二、符号说明
符号含义
f(x)只含 x 的因子
g(y)只含 y 的因子
C积分常数
x₀, y₀初值条件 y(x₀)=y₀
三、本工具的原理
  • 把含 y 的项移到左边、含 x 的项移到右边：dy/g(y) = f(x)dx；
  • 两边分别积分：∫dy/g(y) = ∫f(x)dx + C；
  • 本工具用欧拉法对 dy/dx=f(x)g(y) 做数值积分，得到初值问题的近似解。
四、操作步骤
  1. 输入 f(x) 与 g(y)；
  2. 输入初值 x₀、y₀ 与目标 x₁；
  3. 点击计算，查看分离变量形式与数值解 y(x₁)。
五、例题
例：dy/dx = x·y，y(0)=1。分离得 dy/y = x dx，积分 ln|y| = x²/2 + C，y(0)=1 得 C=0，y(x)=e^(x²/2)。本工具数值解 y(1)≈1.6487，与精确解一致。
六、易错点
分离时 g(y)=0 的点要单独讨论，可能丢失特解；
欧拉法是近似方法，步长越大误差越大；
积分常数 C 需用初值条件确定。

❓ 常见问题｜可分离变量的方程

什么样的方程可以分离变量？
右端能写成 f(x) 乘 g(y)，即 x 和 y 完全分开的乘积。
分离变量后为什么要加常数 C？
不定积分各自产生一个常数，合并成一个任意常数 C。
数值解和精确积分解差多少？
欧拉法有截断误差，步长 500 步时误差通常在 1% 以内，足够教学演示。
g(y)=0 会怎样？
此时右端为 0，对应 y 恒为常数的特解，分离变量时除以 g(y) 会漏掉它。
支持哪些函数写法？
支持 + − * / ^ 括号及 sin cos tan sqrt exp log，变量用 x、y，乘号不能省略。