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可分離變數的方程

可分離變數微分方程線上求解器，輸入 f(x)、g(y) 與初值，自動分離變數並數值求解 y(x)，附分離過程，適合一階 ODE 基礎練習。

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dy/dx = f(x)·g(y) ⇒ ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx + C
x 的函數，如 x
y 的函數，如 y
初始 x
初始 y(x₀)
求解終點

📖 使用教學｜可分離變數的方程

一、定義
若一階微分方程可寫成 dy/dx = f(x)·g(y)，即右端能拆成只含 x 和只含 y 的兩個函數之積，則稱為可分離變數方程。
二、符號說明
符號意義
f(x)只含 x 的因子
g(y)只含 y 的因子
C積分常數
x₀, y₀初值條件 y(x₀)=y₀
三、本工具的原理
  • 把含 y 的項移到左邊、含 x 的項移到右邊：dy/g(y) = f(x)dx；
  • 兩邊分別積分：∫dy/g(y) = ∫f(x)dx + C；
  • 本工具用歐拉法對 dy/dx=f(x)g(y) 做數值積分，得到初值問題的近似解。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x) 與 g(y)；
  2. 輸入初值 x₀、y₀ 與目標 x₁；
  3. 點擊計算，查看分離變數形式與數值解 y(x₁)。
五、範例
範例：dy/dx = x·y，y(0)=1。分離得 dy/y = x dx，積分 ln|y| = x²/2 + C，y(0)=1 得 C=0，y(x)=e^(x²/2)。本工具數值解 y(1)≈1.6487，與精確解一致。
六、易錯點
分離時 g(y)=0 的點要單獨討論，可能遺失特解；
歐拉法是近似方法，步長越大誤差越大；
積分常數 C 需用初值條件確定。

❓ 常見問題｜可分離變數的方程

什麼樣的方程可以分離變數？
右端能寫成 f(x) 乘 g(y)，即 x 和 y 完全分開的乘積。
分離變數後為什麼要加常數 C？
不定積分各自產生一個常數，合併成一個任意常數 C。
數值解和精確積分解差多少？
歐拉法有截斷誤差，步長 500 步時誤差通常在 1% 以內，足夠教學演示。
g(y)=0 會怎樣？
此時右端為 0，對應 y 恆為常數的特解，分離變數時除以 g(y) 會漏掉它。
支援哪些函數寫法？
支援 + − * / ^ 括號及 sin cos tan sqrt exp log，變數用 x、y，乘號不能省略。