一、定义
把数列 u₁,u₂,…,u_n,… 依次相加所得 Σ(n=1..∞) a_n 称为常数项级数。记前 N 项部分和 S_N=Σ(k=1..N) a_k。若 S_N 当 N→∞ 时收敛于有限值 S，称级数收敛，其和为 S；否则称发散。
二、符号说明
| a_n | 级数的第 n 项（通项） |
| S_N | 前 N 项部分和 |
| S | 级数的和（收敛时存在） |
| 余项 R_N = S−S_N | 去掉前 N 项后的尾部 |
三、本工具的原理
- 计算 S_N = 前 N 项逐项相加；
- 再算 S_{2N}，二者之差作为余项估计；
- 同时检查通项 a_{N+1} 是否趋于 0；
- 若余项随 N 增大迅速变小、通项趋于 0，则级数很可能收敛。
四、操作步骤
- 在「通项 a_n」框输入表达式，例如 1/(n^2)；
- 在「项数 N」框输入 1000；
- 点击「计算」，观察 S_N 与 S_{2N} 的接近程度；
- 余项很小说明级数收敛得较好。
五、例题
例：求 Σ 1/n² 的数值和。
解：N=1000 时 S_N≈1.6439，S_2N≈1.6444，余项约 0.0005；通项 a_{1001}≈9.98×10⁻⁷→0。已知精确和为 π²/6≈1.6449，工具结果与之吻合。
六、易错点
部分和只是近似，不能仅凭前若干项就断定收敛；
通项不趋于 0 时级数必发散（n 项判别法）；
数值收敛快的级数不一定真收敛，仍需判别法严格判定。