主页

夹逼准则计算器

夹逼定理在线演示器，输入下界 g、中间 f、上界 h 与点 a，若 g、h 极限相同则数值展示 f 被夹到同一极限，直观验证夹逼准则。

展开更多 ▾
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且 lim g = lim h = A ⇒ lim f = A
被夹函数的下界
要求其极限的函数
被夹函数的上界
x 趋近于此点

📖 使用教程｜夹逼准则

一、定义
若在 a 附近 g(x)≤f(x)≤h(x)，且 lim g(x)=lim h(x)=A，则 lim f(x)=A。这就是夹逼准则（两边夹）。
二、符号说明
符号含义
g(x), h(x)夹住 f 的下界与上界
f(x)中间被夹函数
A共同的极限
a趋近点
三、本工具的原理
  • 本工具数值求上下界 g、h 的极限；
  • 若两极限相等为 A，则 f 被夹到 A；
  • 若不等，则不能用夹逼准则。
四、操作步骤
  1. 输入下界 g(x)、中间 f(x)、上界 h(x)；
  2. 输入趋近点 a；
  3. 点击计算，判断两界是否夹住。
五、例题
例：x→0 时 −x²≤x²sin(1/x)≤x²，而 lim(±x²)=0，故 x²sin(1/x)→0。
六、易错点
必须先验证 g≤f≤h 成立；
夹逼成功要求两界极限严格相等；
振荡函数常用夹逼，因为它本身难以直接求极限。

❓ 常见问题｜夹逼准则

夹逼准则什么时候用？
当 f 难以直接求极限、但能找到上下界且两界极限相同时，最适合用夹逼。
上下界极限不等怎么办？
说明这一组界夹不住，需要重新寻找更紧的上下界。
为什么 x²sin(1/x) 能用夹逼？
|sin(1/x)|≤1，所以 −x²≤x²sin(1/x)≤x²，两界都趋于 0。
夹逼准则要求在 a 附近处处成立吗？
只需在 a 的某个去心邻域内成立即可，端点和远处无关。
数值结果为什么偶尔跳动？
sin(1/x) 在 x 很小时高频振荡，浮点误差会跳动，但夹逼结论不变。