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夾逼準則計算機

夾擠定理線上演示器,輸入下界 g、中間 f、上界 h 與點 a,若 g、h 極限相同則數值展示 f 被夾到同一極限,直觀驗證夾擠準則。

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g(x) ≤ f(x) ≤ h(x),且 lim g = lim h = A ⇒ lim f = A
被夾函數的下界
要求其極限的函數
被夾函數的上界
x 趨近於此點

📖 使用教學|夾逼準則

一、定義
若在 a 附近 g(x)≤f(x)≤h(x),且 lim g(x)=lim h(x)=A,則 lim f(x)=A。這就是夾逼準則(兩邊夾)。
二、符號說明
符號意義
g(x), h(x)夾住 f 的下界與上界
f(x)中間被夾函數
A共同的極限
a趨近點
三、本工具的原理
  • 本工具數值求上下界 g、h 的極限;
  • 若兩極限相等為 A,則 f 被夾到 A;
  • 若不等,則不能用夾逼準則。
四、操作步驟
  1. 輸入下界 g(x)、中間 f(x)、上界 h(x);
  2. 輸入趨近點 a;
  3. 點擊計算,判斷兩界是否夾住。
五、範例
例:x→0 時 −x²≤x²sin(1/x)≤x²,而 lim(±x²)=0,故 x²sin(1/x)→0。
六、易錯點
必須先驗證 g≤f≤h 成立;
夾逼成功要求兩界極限嚴格相等;
振盪函數常用夾逼,因為它本身難以直接求極限。

❓ 常見問題|夾逼準則

夾逼準則什麼時候用?
當 f 難以直接求極限、但能找到上下界且兩界極限相同時,最適合用夾逼。
上下界極限不等怎麼辦?
說明這一組界夾不住,需要重新尋找更緊的上下界。
為什麼 x²sin(1/x) 能用夾逼?
|sin(1/x)|≤1,所以 −x²≤x²sin(1/x)≤x²,兩界都趨於 0。
夾逼準則要求在 a 附近處處成立嗎?
只需在 a 的某個去心鄰域內成立即可。
數值結果為什麼偶爾跳動?
sin(1/x) 在 x 很小時高頻振盪,浮點誤差會跳動,但夾逼結論不變。