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斯托克斯公式计算器

斯托克斯公式在线演示器，在平面区域上计算旋度通量并与边界环量对比，数值验证 ∮F·dr=∬curl F·dS，适合空间曲线积分与场论学习。

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∮_C F·dr = ∬_S (curl F)·n dS
例如 -y
例如 x
例如 0

📖 使用教程｜斯托克斯公式

一、定理
斯托克斯公式：沿闭曲线 C 的环流量等于旋度穿过张成曲面 S 的通量：∮_C F·dr = ∬_S (curl F)·n dS。它把线积分与曲面积分联系起来。
二、符号说明
C闭曲线边界
S张成的曲面
curl F旋度
n曲面单位法向
三、本工具的原理
  • 对平面矩形（法向取 z 方向 k）；
  • 数值求 curl 的 z 分量 Q_x−P_y；
  • 二维辛普森积分；
  • 结果等于边界环流量。
四、操作步骤
  1. 输入 P、Q、R；
  2. 输入矩形区域；
  3. 点击「计算」。
五、例题
例：F=(−y,x,0) 在 [0,1]²。
解：curl_z=Q_x−P_y=1−(−1)=2，面积=1，故 ∬curl·n dS=2×1=2，即边界环流量为 2。
六、易错点
本工具取平面法向 k；
曲面方向与边界方向满足右手定则；
环流量=旋度通量。

❓ 常见问题｜斯托克斯公式

斯托克斯公式有什么用？
把空间闭曲线的环流量化为易算的旋度曲面积分。
法向和边界方向关系？
右手定则：四指沿边界，拇指为法向。
旋度通量是什么？
旋度穿过曲面的“旋转净量”。
为什么取法向 k？
在平面区域 z=0 上，n=k 时只算 curl 的 z 分量。
和格林公式关系？
格林公式是斯托克斯公式在平面曲面上的特例。