主頁

斯托克斯公式計算器

斯托克斯公式線上演示器，在平面區域上計算旋度通量並與邊界環量對比，數值驗證 ∮F·dr=∬curl F·dS，適合空間曲線積分與場論學習。

展開更多 ▾
∮_C F·dr = ∬_S (curl F)·n dS
例如 -y
例如 x
例如 0

📖 使用教學｜斯托克斯公式

一、定理
斯托克斯公式：沿閉曲線 C 的環流量等於旋度穿過張成曲面 S 的通量：∮_C F·dr = ∬_S (curl F)·n dS。它把線積分與曲面積分聯繫起來。
二、符號說明
C閉曲線邊界
S張成的曲面
curl F旋度
n曲面單位法向
三、本工具的原理
  • 對平面矩形（法向取 z 方向 k）；
  • 數值求 curl 的 z 分量 Q_x−P_y；
  • 二維辛普森積分；
  • 結果等於邊界環流量。
四、操作步驟
  1. 輸入 P、Q、R；
  2. 輸入矩形區域；
  3. 點擊「計算」。
五、範例
範例：F=(−y,x,0) 在 [0,1]²。
解：curl_z=1−(−1)=2，面積=1，故 ∬curl·n dS=2，即邊界環流量為 2。
六、易錯點
本工具取平面法向 k；
曲面方向與邊界方向滿足右手定則；
環流量=旋度通量。

❓ 常見問題｜斯托克斯公式

斯托克斯公式有什麼用？
把空間閉曲線的環流量化為易算的旋度曲面積分。
法向和邊界方向關係？
右手定則：四指沿邊界，拇指為法向。
旋度通量是什麼？
旋度穿過曲面的「旋轉淨量」。
為什麼取法向 k？
在平面區域 z=0 上，n=k 時只算 curl 的 z 分量。
和格林公式關係？
格林公式是斯托克斯公式在平面曲面上的特例。