一、定义
第一类曲面积分 ∬_S f dS，其中 dS=√(1+f_x²+f_y²)dxdy（投影到 xy 平面）。被积函数取 1 时即为曲面面积。
二、符号说明
| z=φ(x,y) | 曲面 |
| dS | 曲面面积元 |
| √(1+φ_x²+φ_y²) | 面积元因子 |
三、本工具的原理
- 逐点求曲面高度与偏导；
- 乘面积元因子得 dS；
- 二维辛普森积分。
四、操作步骤
- 输入被积函数 f（默认 1 求面积）；
- 输入曲面表达式与投影矩形；
- 点击「计算」。
五、例题
例：求抛物面 z=x²+y² 在单位正方形 [−1,1]² 上的面积（被积=1）。
解：dS=√(1+4x²+4y²)dxdy，工具数值积分得约 7.45。
六、易错点
本工具按 z=φ(x,y) 投影法；
被积函数可用 z；
f=1 时结果为曲面面积。