一、定义
曲线 y=f(x)（f≥0）绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面面积为 S=2π∫ₐᵇ f(x)√(1+[f′]²)dx。它把一圈“圆台侧条”的侧面积累加。
二、符号说明
| 符号 | 含义 |
|---|
| f(x) | 旋转半径 |
| 2πf(x) | 该点周长 |
| √(1+f′²)dx | 母线弧长微元 |
| S | 旋转曲面面积 |
三、本工具的原理
- 数值求 f′，构造被积项 |f|√(1+f′²)；
- 乘以 2π 后自适应积分；
- 得到旋转曲面面积。
四、操作步骤
- 输入曲线 y=f(x)，例如 x；
- 输入区间 [a,b]；
- 点击“计算”得到 S。
五、例题
例：y=x 绕 x 轴 [0,1]：f′=1，S=2π∫₀¹ x√2 dx=2π·√2·½=π√2≈4.442883。工具给出 4.442883。
六、易错点
这里算的是侧面积，不含上下底面；
f 取绝对值以处理负半径；
旋转轴固定为 x 轴。