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旋轉曲面面積線上計算

旋轉曲面面積線上計算機，輸入 y=f(x) 與區間，繞 x 軸旋轉，用 S=2π∫|f|√(1+f′²)dx 數值算出旋轉曲面面積，適合旋轉體幾何應用。

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S = 2π ∫ₐᵇ |f(x)|√(1+[f′]²) dx
支援 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘號不可省略，寫 2*x
積分下限
積分上限

📖 使用教學｜旋轉曲面面積

一、定義
曲線 y=f(x)（f≥0）繞 x 軸旋轉一週所得旋轉曲面面積為 S=2π∫ₐᵇ f(x)√(1+[f′]²)dx。它把一圈「圓台側條」的側面積累加。
二、符號說明
符號含義
f(x)旋轉半徑
2πf(x)該點周長
√(1+f′²)dx母線弧長微元
S旋轉曲面面積
三、本工具的原理
  • 數值求 f′，構造被積項 |f|√(1+f′²)；
  • 乘以 2π 後自適應積分；
  • 得到旋轉曲面面積。
四、操作步驟
  1. 輸入曲線 y=f(x)，例如 x；
  2. 輸入區間 [a,b]；
  3. 點擊「計算」得到 S。
五、範例
例：y=x 繞 x 軸 [0,1]：S=π√2≈4.442883。工具給出 4.442883。
六、易錯點
這裡算的是側面積，不含上下底面；
f 取絕對值以處理負半徑；
旋轉軸固定為 x 軸。

❓ 常見問題｜旋轉曲面面積

旋轉曲面面積和旋轉體體積有何區別？
面積是「殼」（2πf·弧元），體積是「實心」（πf²·厚元）。
為什麼乘以 2π？
每一點旋轉一週的周長是 2π·半徑。
y=x 旋轉得到什麼？
圓錐側面積，[0,1] 上為 π√2。
算上下底面嗎？
不算，只算旋轉產生的側面。
支援哪些函數？
+−*/^ 與常用初等函數。