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对称矩阵

对称矩阵在线判别器，输入方阵，自动检验 A 是否等于其转置 Aᵀ 并给出误差，附对称性质说明，适合对称矩阵与二次型入门。

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A = Aᵀ ⇔ aᵢⱼ = aⱼᵢ
用空格分隔元素，分号分隔行，如 1 2;3 4

📖 使用教程｜对称矩阵

一、定义
若方阵满足 A = Aᵀ，即 aᵢⱼ = aⱼᵢ，则称 A 为对称矩阵。
二、符号说明
符号含义
Aᵀ转置矩阵
aᵢⱼ=aⱼᵢ对称条件
三、本工具的原理
  • 对称矩阵关于主对角线镜像对称；
  • 对称矩阵必为方阵；
  • 对称矩阵特征值全为实数，可正交对角化。
四、操作步骤
  1. 输入方阵 A；
  2. 点击计算比较 A 与 Aᵀ；
  3. 查看是否对称。
五、例题
例：A=1 2 3;2 4 5;3 5 6。a₁₂=2=a₂₁，a₁₃=3=a₃₁，a₂₃=5=a₃₂，故为对称矩阵。
六、易错点
非方阵不可能对称；
对称是关于主对角线，不是副对角线；
近似相等（误差 < 1e-6）视为对称。

❓ 常见问题｜对称矩阵

什么是对称矩阵？
满足 A=Aᵀ 的方阵，即 aᵢⱼ=aⱼᵢ。
非方阵能对称吗？
不能，对称矩阵必须是方阵。
对称矩阵有什么性质？
特征值全为实数，不同特征值的特征向量正交，可正交对角化。
对角矩阵是对称矩阵吗？
是，因为 aᵢⱼ=0=aⱼᵢ（i≠j）。
判定误差多少？
元素误差小于 1e-6 视为相等。