一、定理
泰勒公式：f(x) = Σ(k=0..∞) f^(k)(a)/k! · (x−a)^k。在 a=0 时称麦克劳林展开。前 n+1 项构成 n 阶泰勒多项式，用来局部逼近 f(x)。
二、符号说明
| f^(k)(a) | f 在 a 处的 k 阶导数 |
| c_k = f^(k)(a)/k! | 泰勒系数 |
| a | 展开中心 |
| n | 展开阶数 |
三、本工具的原理
- 用中心差分数值求各阶导数；
- 除以 k! 得系数 c_k；
- 拼接 c_k (x−a)^k 各项；
- 系数过小（≈0）的项自动省略。
四、操作步骤
- 输入 f(x)，例如 exp(x)；
- 输入展开点 a=0、阶数 n=4；
- 点击「计算」查看泰勒多项式。
五、例题
例：把 e^x 在 0 展开到 4 阶。
解：c_k=1/k!，得 P_4=1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24。工具输出系数 [1,1,0.5,0.1667,0.0417]，与手算一致。
六、易错点
数值高阶导数有误差，阶数过高（>8）会不稳定；
泰勒展开只在中心附近近似效果好；
展开点 a 处函数需光滑可导。