一、定理
泰勒公式：f(x) = Σ(k=0..∞) f^(k)(a)/k! · (x−a)^k。在 a=0 時稱麥克勞林展開。前 n+1 項構成 n 階泰勒多項式，用來局部逼近 f(x)。
二、符號說明
| f^(k)(a) | f 在 a 處的 k 階導數 |
| c_k = f^(k)(a)/k! | 泰勒係數 |
| a | 展開中心 |
| n | 展開階數 |
三、本工具的原理
- 用中心差分數值求各階導數；
- 除以 k! 得係數 c_k；
- 拼接 c_k (x−a)^k 各項；
- 係數過小（≈0）的項自動省略。
四、操作步驟
- 輸入 f(x)，例如 exp(x)；
- 輸入展開點 a=0、階數 n=4；
- 點擊「計算」查看泰勒多項式。
五、範例
範例：把 e^x 在 0 展開到 4 階。
解：c_k=1/k!，得 P_4=1+x+x²/2+x³/6+x⁴/24。工具輸出係數 [1,1,0.5,0.1667,0.0417]，與手算一致。
六、易錯點
數值高階導數有誤差，階數過高（>8）會不穩定；
泰勒展開只在中心附近近似效果好；
展開點 a 處函數需光滑可導。