一、定義
光滑曲線 y=f(x) 在 [a,b] 上的弧長為 L=∫ₐᵇ √(1+[f′(x)]²)dx。它把曲線切成小段，每段近似 √(Δx²+Δy²) 後累加取極限。
二、符號說明
| 符號 | 含義 |
|---|
| f(x) | 曲線方程 |
| f′(x) | 切線斜率 |
| √(1+f′²) | 線元 ds |
| [a,b] | 曲線所在區間 |
三、本工具的原理
- 用中心差分數值求 f′(x)；
- 構造線元 ds=√(1+f′²) 並自適應積分；
- 得到弧長數值。
四、操作步驟
- 輸入曲線 y=f(x)，例如 x；
- 輸入區間 [a,b]；
- 點擊「計算」得到弧長 L。
五、範例
例：y=x 在 [0,1]：f′=1，L=√2≈1.414214。工具給出 1.414214。
六、易錯點
必須是光滑可導曲線；
弧長是路徑長度，不是直線距離；
f′ 用數值差分，避免取值點正好無定義。