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定積分概念線上計算

定積分數值線上計算機，輸入 f(x) 與上下限 a、b，用自適應辛普森法高精度算出定積分結果，附分段誤差估計，適合定積分計算與結果檢驗。

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∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
支援 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘號不可省略，寫 2*x
積分下限
積分上限

📖 使用教學｜定積分概念

一、定義
定積分 ∫ₐᵇ f(x)dx 是黎曼和當分割無限加細時的極限，幾何上表示曲線 y=f(x) 在 [a,b] 上與 x 軸圍成的「有向面積」。牛頓–萊布尼茲公式：∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a)。
二、符號說明
符號含義
∫積分號
a,b積分下限與上限
f(x)被積函數
dx積分微元
F(x)f 的反導數
三、本工具的原理
  • 無需尋找反導數，直接用自適應辛普森法數值積分；
  • 在曲線彎曲處自動加密節點，誤差約 1e-10；
  • 適用於有解析解困難但連續的函數。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x)，例如 x^2；
  2. 輸入下限 a、上限 b；
  3. 點擊「計算」得到 ∫ₐᵇ f(x)dx。
五、範例
例：∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 ≈ 0.333333。工具給出 0.333333。
六、易錯點
定積分結果是一個數，不是函數；
上下限順序影響符號：∫ₐᵇ = −∫ᵇₐ；
函數在區間內不能有可積性太差的奇點。

❓ 常見問題｜定積分概念

定積分和不定積分有什麼區別？
定積分是一個數（區間上的累加），不定積分是一族反導數 F(x)+C。
工具用的是什麼方法？
自適應辛普森法：根據曲率自動加密，精度約 1e-10。
能算不可積的函數嗎？
對區間上連續或分段連續、無強奇點的函數可以；含極點、發散區間會給出 NaN 或錯誤。
為什麼結果帶小數？
這是數值積分，不是解析精確值，但誤差極小。
支援哪些函數？
+−*/^ 與 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e。