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導數定義計算機

導數定義線上演示器，輸入 f(x) 與點 x0，觀察差商 [f(x0+h)−f(x0)]/h 隨 h 縮小的極限過程，數值逼近切線斜率，直觀理解導數概念。

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f′(x0) = lim(h→0) [f(x0+h)−f(x0)] / h
支援 + - * / ^ 及 sin cos tan sqrt exp log pi e
在此點求導數值

📖 使用教學｜導數定義

一、定義
f 在 x0 的導數 f′(x0) = lim(h→0) [f(x0+h)−f(x0)]/h，幾何上是割線斜率的極限，即切線斜率。
二、符號說明
符號意義
f(x)函數
x0求導的點
h自變數增量
f′(x0)導數值（切線斜率）
三、本工具的原理
  • 本工具依序取 h=0.1,0.01,0.001 計算差商；
  • 觀察差商隨 h 縮小穩定趨近的值；
  • 該值即導數的數值近似。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x)，如 x^2；
  2. 輸入點 x0，如 3；
  3. 點擊計算，看差商如何趨近 f′(x0)。
五、範例
例：f(x)=x² 在 x0=3。差商 [(3+h)²−9]/h=6+h→6，故 f′(3)=6。
六、易錯點
h 不能取 0，但要夠小以逼近極限；
差商有左、右兩種，導數存在要求兩者相等；
h 過小時浮點相減會丟精度。

❓ 常見問題｜導數定義

導數的幾何意義是什麼？
f′(x0) 是曲線在 (x0,f(x0)) 處切線的斜率，反映函數在該點的瞬時變化率。
為什麼用 h 越來越小？
導數是極限概念，h→0 時差商才真正等於切線斜率。
導數不存在的情況有哪些？
尖點、角點、鉛直切線、左右導數不相等、函數不連續等。
數值結果為什麼和公式略有差別？
用的是有限小的 h，存在截斷誤差；h=0.001 時已很接近。
差商和導數公式是什麼關係？
差商是導數的定義式，各種求導法則（冪、鏈式等）都是它的化簡結果。