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歐拉線計算器

歐拉線線上計算機，輸入三角形三頂點，自動求出重心、外心、垂心並驗證三點共線的歐拉線性質，附座標結果，適合三角形五心與幾何證明練習。

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G, O, H 共線，且 HG : GO = 2 : 1

📖 使用教學｜歐拉線

一、定義
歐拉線：任意三角形的重心 G、外心 O、垂心 H 三點共線，且重心把線段 OH 分成 HG:GO=2:1（重心靠近外心）。
二、符號說明
符号意義
G重心（頂點平均）
O外心
H垂心
HG:GO=2:1重心分割比例
三、本工具的原理
  • 重心 G=(A+B+C)/3；
  • 外心 O 為三邊中垂線交點；
  • 垂心 H=A+B+C−2O；
  • 三點共線，HG:GO=2:1。
四、操作步驟
  1. 輸入三個頂點座標；
  2. 點擊計算；
  3. 讀取 G、O、H；
  4. 驗證是否共線及 2:1 比例。
五、範例
範例：三角形 (0,0)(4,0)(0,3)。G≈(1.333,1)，O=(2,1.5)，H=(0,0)，三者共線，HG:GO=2:1。
六、易錯點
三點不能共線；
等邊三角形三心重合，歐拉線退化為點；
重心始終在 O、H 之間。

❓ 常見問題｜歐拉線

歐拉線是什麼？
過重心、外心、垂心三點的直線。
重心為什麼靠近外心？
因為 HG:GO=2:1，重心離垂心更遠、離外心更近。
等邊三角形還有歐拉線嗎？
三心重合，歐拉線退化為一點。
垂心怎麼求？
可用 H=A+B+C−2O（外心已知時）。
九點圓心在歐拉線上嗎？
在，它是 O、H 的中點。