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高斯消元法

高斯消去法線上求解器，輸入係數矩陣 A 與右端 b，逐列展示列基本變換的消去過程並回帶求解，附每一步矩陣，適合線性方程組求解練習。

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[A|b] → 行階梯形 → 回代
用空格分隔元素，分號分隔列，如 1 2;3 4
空格分隔

📖 使用教學｜高斯消元法

一、定義
高斯消元法透過列初等變換把增廣矩陣化為行階梯形，再回代求解 Ax=b。
二、符號說明
符號意義
主元列中絕對值最大的元素
行階梯形每行首非零元逐行右移
回代從最後一列往上解
三、本工具的原理
  • 選主元（列最大值）提高數值穩定性；
  • 列變換：某列乘 k、兩列交換、某列加另一列的倍數；
  • 化階梯後從下往上回代。
四、操作步驟
  1. 輸入 A 與 b；
  2. 點擊計算查看每一步列變換；
  3. 讀取回代後的解。
五、範例
範例：A=1 1 1;2 1 −1;−1 1 2，b=6 1 5。消元回代得 x₁=1，x₂=2，x₃=3。
六、易錯點
主元接近 0 時需換列；
列變換不能改變方程組的解；
無解時出現 0=非零列。

❓ 常見問題｜高斯消元法

高斯消元的三步？
選主元、消元、回代。
什麼是主元？
當前列中絕對值最大的元素，用於消元並提高穩定性。
行階梯形長什麼樣？
每行首非零元逐行右移，下方全為 0。
為什麼要選主元？
避免主元接近 0 導致數值不穩定。
消元法和克萊姆法則哪個快？
高斯消元 O(n³)，克萊姆 O(n!)，大系統用消元。