主頁

有理函數積分線上計算

有理函數積分線上計算機，輸入分子分母多項式與區間，數值計算定積分，輔助部分分式分解練習，適合理函數積分技巧訓練。

展開更多 ▾
∫ P(x)/Q(x) dx
支援 + − * / ^ ( ) 及 sin cos tan sec cot sqrt exp log abs asin atan pi e；乘號不可省略，寫 2*x
積分下限
積分上限

📖 使用教學｜有理函數積分

一、定義
有理函數是兩個多項式之商 P(x)/Q(x)。積分時先做多項式除法化為真分式，再部分分式分解，把它拆成若干簡單分式後逐項積分。
二、符號說明
符號含義
P(x)分子多項式
Q(x)分母多項式
部分分式把假分式拆成簡單分式之和
真分式次數 P < 次數 Q
三、本工具的原理
  • 直接對有理表達式做自適應數值積分；
  • 用於驗證你用部分分式分解後所得解析結果；
  • 避免在極點處取值。
四、操作步驟
  1. 輸入有理函數，例如 (x+1)/(x^2+1)；
  2. 輸入區間 [a,b]，避開分母零點；
  3. 點擊「計算」得到數值積分。
五、範例
例：∫₀¹ (x+1)/(x²+1) dx = ½ln2 + π/4 ≈ 1.1320。工具給出 1.131970。
六、易錯點
區間不能穿過分母的實零點（極點）；
假分式先做多項式除法；
分母不可約二次型對應 atan 與 ln 項。

❓ 常見問題｜有理函數積分

什麼是部分分式分解？
把有理分式拆成 A/(x−a)、B/(x−a)²、(Cx+D)/(ax²+bx+c) 等簡單項之和，再逐項積分。
工具能自動做部分分式嗎？
不能自動解析分解；它直接數值積分，供你對照自己的分解結果。
區間碰到分母零點怎麼辦？
避開極點；穿過極點積分發散，結果無意義。
為什麼 (x+1)/(x²+1) 拆成兩項？
x/(x²+1) 湊微分得 ½ln(x²+1)，1/(x²+1) 得 atan x。
支援哪些寫法？
多項式、分數、括號與常用初等函數。