主頁

第二類曲線積分計算器

第二類曲線積分線上計算機，輸入向量場與路徑，計算變力沿路徑作功 ∫F·dr，附分量展開，適合變力作功與場論學習。

展開更多 ▾
∫_C P dx + Q dy = ∫ [P x' + Q y'] dt
例如 x*y
例如 x^2

📖 使用教學｜第二類曲線積分

一、定義
第二類曲線積分（對坐標）∫_C P dx+Q dy = ∫(P x'+Q y')dt，表示變力沿路徑做的功，與方向有關，反向路徑積分變號。
二、符號說明
(P,Q)向量場
x(t),y(t)路徑
dx,dy坐標微分
方向反向則變號
三、本工具的原理
  • 逐點求場值與路徑切向；
  • P dx+Q dy 即點積；
  • 辛普森法積分。
四、操作步驟
  1. 輸入 P、Q 與路徑；
  2. 輸入 t 範圍；
  3. 點擊「計算」。
五、範例
範例：F=(xy, x²) 沿 x=t,y=t²（t:0→1）。
解：∫₀¹[t³+2t³]dt=∫₀¹3t³dt=0.75。
六、易錯點
與方向有關，反向路徑積分變號；
閉曲線正向常取逆時針；
可與格林公式對照驗證。

❓ 常見問題｜曲線積分(第二類)

第二類和第一類區別？
第二類對坐標、與方向有關；第一類對弧長、與方向無關。
反向路徑積分怎麼變？
整體變號。
物理意義？
變力沿路徑作功。
什麼時候與路徑無關？
當場是保守場（Qx=Py 且單連通）時。
能驗證格林公式嗎？
對閉合路徑，應等於二重積分 (Qx−Py) 區域積分。