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麥克勞林公式計算機

麥克勞林公式線上計算機，輸入 f(x)、階數 n 與求值點，自動算出在 x=0 處的麥克勞林展開係數、多項式與餘項，適合泰勒級數入門練習。

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f(x) = Σ f^(k)(0)/k!·x^k + R_n
支援 + - * / ^ 及 sin cos tan sqrt exp log pi e
整數 1~6
在該點比較近似值

📖 使用教學｜麥克勞林公式

一、定義
麥克勞林公式是 a=0 時的泰勒公式：f(x)=Σ f^(k)(0)/k!·x^k + R_n，在原點附近用多項式逼近。
二、符號說明
符號意義
n階數
f^(k)(0)原點 k 階導數
R_n餘項
三、本工具的原理
  • 本工具求原點各階導數值；
  • 構成麥克勞林多項式；
  • 在 x0 處比較近似與真實值。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x)；
  2. 輸入階數 n 與求值點 x0；
  3. 點擊計算。
五、範例
例：sin x 的麥克勞林展開：x − x³/6。x0=0.5 時 P≈0.47917，sin0.5≈0.4794。
六、易錯點
只在原點附近收斂好；
高階數值微分有累積誤差；
記住常用展開：eˣ、sinx、cosx、ln(1+x)。

❓ 常見問題｜麥克勞林公式

麥克勞林和泰勒是什麼關係？
麥克勞林是展開中心取 a=0 的泰勒公式。
常用麥克勞林展開有哪些？
eˣ=1+x+x²/2+…；sinx=x−x³/6+…；cosx=1−x²/2+…；ln(1+x)=x−x²/2+…。
餘項怎麼估計？
拉格朗日餘項 R_n=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!·x^(n+1)，ξ 在 0 與 x 之間。
為什麼 x0 不能太大？
麥克勞林只在原點附近精確，離原點遠了誤差迅速增大。
這個工具和泰勒公式工具區別？
本工具固定中心 a=0，更簡單；泰勒工具可指定任意中心。