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拉格朗日中值定理計算機

拉格朗日均值定理線上驗證器，輸入 f(x) 與區間 [a,b]，算出平均斜率並在區間內找到 c 使 f′(c) 等於該斜率，直觀驗證均值定理，適合高等數學練習。

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f′(c) = (f(b)−f(a))/(b−a), c∈(a,b)
支援 + - * / ^ 及 sin cos tan sqrt exp log pi e
端點
端點，b>a

📖 使用教學｜拉格朗日中值定理

一、定義
若 f 在 [a,b] 連續、(a,b) 可導，則存在 c∈(a,b) 使 f′(c)=(f(b)−f(a))/(b−a)，即切線平行於割線。
二、符號說明
符號意義
[a,b]閉區間
f(a), f(b)兩端點函數值
c中值點
f′(c)c 處導數
三、本工具的原理
  • 本工具先算割線平均斜率；
  • 再掃描 f′ 最接近該斜率的 c；
  • 近似找到滿足定理的中值點。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x)；
  2. 輸入區間 [a,b]；
  3. 點擊計算查看平均斜率與 c。
五、範例
例：f=x² 在 [0,2]。斜率=(4−0)/2=2，f′(c)=2c=2 得 c=1。
六、易錯點
定理要求連續且可導；
c 不一定唯一；
掃描得到的是近似位置。

❓ 常見問題｜拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的幾何意義？
存在一點 c，曲線在該點的切線平行於連接 (a,f(a)) 與 (b,f(b)) 的割線。
c 唯一嗎？
不一定，可能有多個點滿足；二次函數只有一個。
定理有什麼前提？
f 在 [a,b] 連續、在 (a,b) 內可導。
羅爾定理和它什麼關係？
羅爾是 f(a)=f(b) 的特例，此時斜率為 0，即存在水平切線。
為什麼 c 是近似的？
用網格掃描，精度取決於網格密度。