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參數方程求導計算機

參數方程求導線上計算機，輸入 x(t)、y(t) 與參數 t，自動算出一階導 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) 與二階導 d²y/dx²，適合參數方程求導練習。

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dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) d²y/dx² = (d/dt(dy/dx))/(dx/dt)
用 t 表示
用 t 表示
如 π/4≈0.785

📖 使用教學｜參數方程求導

一、定義
參數方程 x=x(t)、y=y(t) 的一階導 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)；二階導 d²y/dx² = (d/dt(dy/dx))/(dx/dt)。
二、符號說明
符號意義
x(t), y(t)參數方程
dx/dt, dy/dt對 t 的導數
dy/dx曲線切線斜率
d²y/dx²二階導數
三、本工具的原理
  • 本工具數值求 dx/dt、dy/dt；
  • 相除得一階導；
  • 再對 t 求一次後除以 dx/dt 得二階導。
四、操作步驟
  1. 輸入 x(t)、y(t)；
  2. 輸入參數 t；
  3. 點擊計算得一階、二階導。
五、範例
例：x=cos t、y=sin t 在 t=π/4。dx/dt=−sin，dy/dt=cos，dy/dx=−cot(π/4)=−1。
六、易錯點
二階導不是簡單地 (d²y/dt²)/(d²x/dt²)；
必須先對 dy/dx 再對 t 求導；
dx/dt=0 時一階導不存在。

❓ 常見問題｜參數方程求導

參數方程的二階導怎麼算？
先算 D=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)，再算 d²y/dx²=(dD/dt)/(dx/dt)，別直接除二階導。
為什麼不能直接 d²y/dt² 除以 d²x/dt²？
因為二階導是對 x 求導而非對 t，必須經過中間量 D 再對 t 求導。
dx/dt=0 時怎麼辦？
此時切線鉛直，dy/dx 不存在（無窮大）。
圓的參數方程切線斜率是多少？
x=cos t,y=sin t，dy/dx=−cot t。在 t=π/4 處為 −1。
這個工具支援哪些函數？
任何用 t 寫成的運算式，三角函數、冪、指數都可以。