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三重積分計算器

三重積分數值線上計算機，在長方體區域上用三維辛普森法計算 ∭f(x,y,z)dV，附網格說明，適合三重積分計算與作業驗算。

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∭_V f(x,y,z) dV
例如 x*y*z

📖 使用教學｜三重積分

一、定義
三重積分 ∭_V f dV 在長方體域上化為三次累次積分。f=1 時即為區域 V 的體積。
二、符號說明
f(x,y,z)被積函數
V積分區域
六個上下限長方體邊界
三、本工具的原理
  • 用三維複合辛普森公式；
  • 16×16×16 網格加權求和；
  • f=1 時結果應等於長方體體積。
四、操作步驟
  1. 輸入 f(x,y,z)；
  2. 輸入六個積分限；
  3. 點擊「計算」。
五、範例
範例：∭₀¹ xyz dV。
解：=(∫₀¹x dx)³=(1/2)³=0.125。工具得 0.125。
六、易錯點
本工具支援長方體區域；
非長方體需先確定隨坐標變化的限；
柱坐標、球坐標換元要乘雅可比。

❓ 常見問題｜三重積分

三重積分幾何意義？
f=1 時為體積，否則為加權品質。
非長方體怎麼算？
用不等式定出每層的上下限，再用累次積分。
柱座標雅可比？
dV=r dr dθ dz。
球座標雅可比？
dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ。
結果為何有小誤差？
三維網格解析度有限，屬正常數值誤差。