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数量积（点积）计算器

平面向量数量积（点积）在线计算：输入两个向量的坐标，自动算出数量积、各自的模与夹角，并判断是否垂直。数量积是判断垂直、求夹角与投影的核心工具，广泛用于几何证明和解析几何。

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a·b = |a||b|cosθ = aₓbₓ + aᵧbᵧ
θabO
向量 a 的坐标
x
y
向量 b 的坐标
x
y

📖 使用教程｜数量积

一、定义
两个非零向量 a、b 的数量积（点积 / 内积）定义为 a·b = |a||b|cosθ，其中 θ 是它们的夹角（0°≤θ≤180°）。数量积的结果是一个数量（标量），而不是向量。
二、坐标公式与符号
符号含义
a=(aₓ,aᵧ)，b=(bₓ,bᵧ)两向量的坐标
a·b = aₓbₓ + aᵧbᵧ数量积的坐标运算
|a|、|b|两向量的模
θ夹角，cosθ = (a·b)/(|a||b|)
三、重要性质与运算律
  • 交换律：a·b = b·a；
  • 数乘结合：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)；
  • 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c；
  • a·a = |a|²（记作 a² = |a|²）；
  • a⊥b ⇔ a·b = 0，这是判定垂直的依据；
  • 数量积不满足结合律：(a·b)c ≠ a(b·c)。
四、操作步骤
  1. 在两个坐标组中分别填入向量 a、b 的 x、y 分量；
  2. 点击「计算」，即得数量积与夹角；
  3. 也可先点「填入示例」快速体验，再修改数据。
五、例题
例：已知 a=(3,4)，b=(4,−3)，求 a·b 并判断位置关系。
解：a·b = 3×4 + 4×(−3) = 12 − 12 = 0，所以 a⊥b。
（|a|=|b|=5，cosθ=0，θ=90°。）
六、易错点
① 点积结果是数不是向量，符号用「·」不能写成「×」；② 夹角范围是 0°～180°；③ 由 a·b=0 推出垂直的前提是两向量均非零；数量积不能像实数一样随意约去。

❓ 常见问题｜数量积

数量积为什么是一个数？
因为 a·b=|a||b|cosθ 是三个数量相乘，结果必然是标量。只有向量积（叉积）的结果才是向量，而高中平面向量主要学习数量积。
怎样用坐标计算点积？
把对应分量相乘后再相加即可：a·b=aₓbₓ+aᵧbᵧ。例如 (1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11。
点积等于 0 说明什么？
若两个向量都非零，则它们垂直（a⊥b）。这是证明两条直线或两个向量垂直最常用的方法；若其中含零向量则需单独讨论。
已知坐标怎样求夹角？
先求点积和两个模，再由 cosθ=(a·b)/(|a||b|) 取反余弦得到 θ，结果范围在 0°～180° 之间。
数量积有结合律吗？
没有。(a·b)c 是与 c 共线的向量，a(b·c) 是与 a 共线的向量，二者一般不相等。但交换律和分配律成立。
式子 a² 表示什么？
a²=a·a=|a|²，即向量模的平方。因此求模常用 |a|=√(a·a)，这在求距离时很有用。
点积和投影有什么关系？
向量 a 在 b 方向上的数量投影等于 (a·b)/|b|；再乘以 b 方向的单位向量，就得到向量投影。