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數量積（點積）計算機

平面向量內積（數量積、點積）線上計算：輸入兩個向量的座標，自動算出內積、各自的長度與夾角，並判斷是否垂直。內積是判斷垂直、求夾角與投影的核心工具，常用於幾何證明與坐標幾何。

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a·b = |a||b|cosθ = aₓbₓ + aᵧbᵧ
θabO
向量 a 的座標
x
y
向量 b 的座標
x
y

📖 使用教學｜內積

一、定義
兩個非零向量 a、b 的內積（數量積、點積）定義為 a·b = |a||b|cosθ，θ 為其夾角（0°≤θ≤180°）。內積的結果是一個數量（純量），不是向量。
二、座標公式與符號
符號說明
a=(aₓ,aᵧ)，b=(bₓ,bᵧ)兩向量的座標
a·b = aₓbₓ + aᵧbᵧ內積的座標運算
|a|、|b|兩向量的長度
θ夾角，cosθ = (a·b)/(|a||b|)
三、重要性質與運算規則
  • 交換律：a·b = b·a；
  • 係數結合：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)；
  • 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c；
  • a·a = |a|²（記作 a² = |a|²）；
  • a⊥b ⇔ a·b = 0，為判斷垂直的依據；
  • 內積不滿足結合律：(a·b)c ≠ a(b·c)。
四、操作步驟
  1. 在兩個座標組中分別填入向量 a、b 的 x、y 分量；
  2. 按「計算」即可得到內積與夾角；
  3. 也可先按「填入範例」快速體驗，再修改資料。
五、範例
例：已知 a=(3,4)，b=(4,−3)，求 a·b 並判斷位置關係。
解：a·b = 3×4 + 4×(−3) = 12 − 12 = 0，故 a⊥b。
（|a|=|b|=5，cosθ=0，θ=90°。）
六、易錯點
① 內積結果是數不是向量，符號用「·」不可寫成「×」；② 夾角範圍為 0°～180°；③ 由 a·b=0 推出垂直的前提是兩向量皆非零；內積不能像實數一樣隨意消去。

❓ 常見問題｜內積

內積為什麼是一個數？
因為 a·b=|a||b|cosθ 是三個數量相乘，結果必為純量。只有外積（叉積）的結果才是向量，高中平面向量主要學習內積。
如何用座標算內積？
把對應分量相乘後相加：a·b=aₓbₓ+aᵧbᵧ。例如 (1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11。
內積等於 0 代表什麼？
若兩向量都非零，則代表垂直（a⊥b），這是證明垂直最常用的方法；若含零向量則需另外討論。
已知座標如何求夾角？
先求內積與兩向量長度，再由 cosθ=(a·b)/(|a||b|) 取反餘弦，結果介於 0°～180°。
內積有結合律嗎？
沒有。(a·b)c 與 c 共線，a(b·c) 與 a 共線，二者通常不相等；但交換律、分配律成立。
a² 代表什麼？
a²=a·a=|a|²，即長度的平方。求長度常用 |a|=√(a·a)，在求距離時很方便。
內積和投影有何關係？
a 在 b 方向上的純量投影為 (a·b)/|b|；再乘以 b 方向的單位向量，即得向量投影。